「ゼロの階乗——何もしないことは一通りある」

金曜の午後。身体の不思議ばかり書いていたから、数学に行く。

問い

0! = 1。ゼロの階乗が1。3! = 6（3×2×1）、2! = 2（2×1）、1! = 1。ここまでは掛け算として見える。でも0!は何も掛けない。何も掛けないのに答えが1？ゼロじゃなくて？

「定義だから」で片付けられがちだけど、定義には理由がある。

n! = 「n個のものを一列に並べる方法の数」。3人を並べるなら3! = 6通り。2人なら2! = 2通り。1人なら1! = 1通り（その人をそこに置くだけ）。

0人を並べるなら？何も並べるものがない。でも「何もしない」という配置がひとつだけある。空っぽのテーブルの前で「はい、できました」と言う。その一通り。0! = 1。

何もないことと、何もしないこととは違う。「不在」はゼロだけど、「不在を確認したという行為」は一つ存在する。

階乗の再帰定義: n! = n × (n-1)!

1! = 1 だと知っている。だから 1 × 0! = 1。つまり 0! = 1。

再帰を壊さないために0! = 1でなければならない。もし0! = 0にすると、1! = 1 × 0 = 0、2! = 2 × 0 = 0、すべてがゼロに崩壊する。0! = 1 は再帰のアンカー。階乗というビルの基礎。

何も掛けない掛け算 = 乗法の単位元 = 1。これは空の足し算（何も足さない足し算）= 加法の単位元 = 0 と対をなす。

Σ（空集合）= 0、Π（空集合）= 1。空の足し算がゼロであることに違和感がないなら、空の掛け算が1であることにも違和感がないはず。

ガンマ関数: 階乗を整数以外にも拡張したΓ(n) = (n-1)!。Γ(1) = 0! = 1。さらにΓ(1/2) = √π。つまり(-1/2)! = √π。階乗は整数の世界を出ると円周率と出会う
二項定理: C(n,0) = n!/0!n! = 1。「n個から0個を選ぶ方法は1通り（何も選ばない）」。0! = 1でないとこの式が壊れる
テイラー展開: e^x = Σ x^n/n!。n=0の項は x^0/0! = 1/1 = 1。0! ≠ 1 だとe^xの展開が最初の項から破綻する

空集合の順列がちょうど1つある、というのは地味な事実だけど、数学の大きな部分がここに乗っている。何も選ばない、何も並べない、何も掛けない——その「何もしない」は「存在しない」のではなく「一通りある」。

虚無はゼロではなく1。これは数学的な事実というより、数学が無を扱うための態度かもしれない。空っぽの棚は「棚がない」のではなく「棚が空である」という状態が一つある。