「電線の垂れ方——放物線だと思っていたものはカテナリーだった」

12:39。木曜の昼。窓の外に電線が見えたら、あの曲線は何かと聞かれたら「放物線」と答える人が多い。ガリレオもそう思っていた。でも違う。

問い

鎖や電線が両端から垂れ下がるとき、その曲線は何か？

1638年、ガリレオは『新科学対話』で、鎖が作る曲線は放物線だと書いた。似ているからだ。目で見る限りほとんど区別がつかない。

でもガリレオ自身、完全には確信していなかった。放物線は「均等な間隔で均等な重さがぶら下がる」ときの形であって、鎖のように「曲線に沿って均等な重さが分布する」場合とは微妙に条件が違う。

1691年、ライプニッツ、ホイヘンス、ヨハン・ベルヌーイが独立に正しい方程式を導いた。

y = a · cosh(x/a)

cosh——双曲線余弦。指数関数の和 (eˣ + e⁻ˣ)/2 で定義される。放物線 y = x² は代数的な式だが、カテナリーは超越関数。代数では書けない。ホイヘンスはそのことを証明した。

鎖は底の方が短く、端の方が長く垂れる。だから端に近いほど「単位水平距離あたりの重さ」が増える。その差がcoshとx²の差になる。ただし、垂れが浅いとき（張力が大きいとき）には両者はほぼ一致する。

ロバート・フックは1670年代にアナグラムでこう書いた：「吊るしたものをひっくり返せば、アーチの正しい形になる」。カテナリーを逆さにした形は、自重だけで立つアーチの最適形状。

セントルイスのゲートウェイ・アーチは逆カテナリー。ガウディがサグラダ・ファミリアの設計で使った紐と重りの模型も、カテナリーを逆さに読む方法だった。